高考文科數學概率精細選
1
、
[2014
·
湖
北卷
]
計劃在某水庫建一座至多安裝
3
臺發電機的水電站，過去
50
年的水
文資料顯示，水年入流量
．．．．
X(
年入流量：一年內上游來水與庫區降水之和，單位：億立方米
)
都在
40
以上，其中，不足
80
的年份有
10
年，不低于
80
且不超過
120
的年份有
35
年，超
過
120
的年份有
5
年，將年入流量在以上三段的頻率作為相應段的概率，
并假設各年的年入
流量相互獨立．
(1)
求未來
4
年中，至多
．．
有
1
年的年入流量超過
120
的概率．
(2)
水電站希望安裝的發電機盡可能運行，但每年發電機最多可運行臺數受年入流量
X
限制，并有如下關系：
年入流量
X
40 80 ≤ X ≤ 120 X>120 發電機最多 可運行臺數 1 2 3 若某臺發電機運行，則該臺年利潤為 5000 萬元；若某臺發電機未運行，則該臺年虧損 800 萬元，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機多少臺？ 解： (1) 依題意， p 1 ＝ P(40 ＝ 10 50 ＝ 0.2 ， p 2 ＝ P(80 ≤ X ≤ 120) ＝ 35 50 ＝ 0.7 ， p 3 ＝ P(X>120) ＝ 5 50 ＝ 0.1. 由二項分布得，在未來 4 年中至多有 1 年的年入流量超過 120 的概率為 p ＝ C 0 4 (1 － p 3 ) 4 ＋ C 1 4 (1 － p 3 ) 3 p 3 ＝ 0.9 4 ＋ 4 × 0.9 3 × 0.1 ＝ 0.947 7. (2) 記水電站年總利潤為 Y( 單位：萬元 ) ． ①安裝 1 臺發電機的情形． 由于水庫年入流量總大于 40 ，故一臺發電機運行的概率為 1 ，對應的年利潤 Y ＝ 5000 ， E(Y) ＝ 5000 × 1 ＝ 5000. ②安裝 2 臺發電機的情形． 依題意， 當 40 時，一臺發電機運行， 此時 Y ＝ 5000 － 800 ＝ 4200 ， 因此 P(Y ＝ 4200) ＝ P(40 ＝ p 1 ＝ 0.2 ；當 X ≥ 80 時，兩臺發電機運行，此時 Y ＝ 5000 × 2 ＝ 10 000 ，因此 P(Y ＝ 10 000) ＝ P(X ≥ 80) ＝ p 2 ＋ p 3 ＝ 0.8. 由此得 Y 的分布列如下： Y 4200 10 000 P 0.2 0.8 所以， E(Y) ＝ 4200 × 0.2 ＋ 10 000 × 0.8 ＝ 8840. ③安裝 3 臺發電機的情形． 依題意，當 40 時， 一臺發電機運行， 此時 Y ＝ 5000 － 1600 ＝ 3400 ， 因此 P(Y ＝ 3400) ＝ P(40 ＝ p 1 ＝ 0.2 ； 當 80 ≤ X ≤ 120 時， 兩臺發電機運行， 此時 Y ＝ 5000 × 2 － 800 ＝ 9200 ， 因此 P(Y ＝ 9200) ＝ P(80 ≤ X ≤ 120) ＝ p 2 ＝ 0.7 ；當 X>120 時，三臺發電機運行，此時 Y ＝ 5000 × 3 ＝ 15 000 ，因此 P(Y ＝ 15 000) ＝ P(X>120) ＝ p 3 ＝ 0.1. 由此得 Y 的分布列如下： Y 3400 9200 15 000 P 0.2 0.7 0.1 所以， E(Y) ＝ 3400 × 0.2 ＋ 9200 × 0.7 ＋ 15 000 × 0.1 ＝ 8620. 綜上，欲使水電站年總利潤的均值達到最大，應安裝發電機 2 臺． 2 、 一款擊鼓小游戲的規則如下： 每盤游戲都需擊鼓三次， 每次擊鼓要么出現一次音樂， 要么不出現音樂；每盤游戲擊鼓三次后，出現一次音樂獲得 10 分，出現兩次音樂獲得 20 分，出現三次音樂獲得 100 分，沒有出現音樂則扣除 200 分 ( 即獲得－ 200 分 ) ．設每次擊鼓 出現音樂的概率為 1 2 ，且各次擊鼓出現音樂相互獨立． (1) 設每盤游戲獲得的分數為 X ，求 X 的分布列． (2) 玩三盤游戲，至少有一盤出現音樂的概率是多少？
(3)
玩過這款游戲的許多人都發現，若干盤游戲后，與最初的分數相比，分數沒有增加
反而減少了．請運用概率統計的相關知識分析分數減少的原因．
解：
(1)X
可能的取值為
10
，
20
，
100
，－
200.
根據題意，有
P(X
＝
10)
＝
C
1
3
×
1
2
1
×
1
－
1
2
2
＝
3
8
，
P(X
＝
20)
＝
C
2
3
×
1
2
2
×
1
－
1
2
1
＝
3
8
，
P(X
＝
100)
＝
C
3
3
×
1
2
3
×
1
－
1
2
0
＝
1
8
，
P(X
＝－
200)
＝
C
0
3
×
1
2
0
×
1
－
1
2
3
＝
1
8
.
所以
X
的分布列為：
X
10
20
100
－
200
P
3
8
3
8
1
8
1
8
(2)
設“第
i
盤游戲沒有出現音樂”為事件
A
i
(
i
＝
1
，
2
，
3)
，則
P(A
1
)
＝
P(A
2
)
＝
P(A
3
)
＝
P(X
＝－
200)
＝
1
8
.
所以“三盤游戲中至少有一盤出現音樂”的概率為
1
－
P(A
1
A
2
A
3
)
＝
1
－
1
8
3
＝
1
－
1
512
＝
511
512
.
因此，玩三盤游戲至少有一盤出現音樂的概率是
511
512
.
(3)
由
(1)
知，
X
的數學期望為
EX
＝
10
×
3
8
＋
20
×
3
8
＋
100
×
1
8
－
200
×
1
8
＝－
5
4
.
這表明，獲得分數
X
的均值為負．
因此，多次游戲之后分數減少的可能性更大．
3
、從
0
，
1
，
2
，
3
，
4
，
5
，
6
，
7
，
8
，
9
中任取七個不同的數，則這七個數的中位數是
6
的概率為
________
．
1
6
4
、為回饋顧客，
某商場擬通過摸球兌獎的方式對
1000
位顧客進行獎勵，
規定：每位顧
客從一個裝有
4
個標有面值的球的袋中一次性隨機摸出
2
個球，
球上所標的面值之和為該顧
客所獲的獎勵額．
(1)
若袋中所裝的
4
個球中有
1
個所標的面值為
50
元，其余
3
個均為
10
元，求：
(i)
顧客所獲的獎勵額為
60
元的概率；
(ii)
顧客所獲的獎勵額的分布列及數學期望．
(2)
商場對獎勵總額的預算是
60
000
元，并規定袋中的
4
個球只能由標有面值
10
元和
50
元的兩種球組成，或標有面值
20
元和
40
元的兩種球組成．為了使顧客得到的獎勵總額
盡可能符合商場的預算且每位顧客所獲的獎勵額相對均衡，
請對袋中的
4
個球的面值給出一